Недавно начатый журнал или давно забытые записи. Счастливые билеты
Тема урока: «Чтение и запись многозначных чисел»
Класс:4
Тип урока: Урок – закрепление(заочная экскурсия)
Цель урока: тренировка способности чтения и записи многозначных чисел, сравнение многозначных чисел;
представление многозначного числа в виде суммы разрядных слагаемых
Методы обучения:
Формы:
Планируемые результаты:
Личностные:
1 В предложенных педагогом ситуациях общения и сотрудничества, опираясь на общие для всех простые
правила поведения, самостоятельно делать выбор, какой поступок совершить.
Регулятивные:
1. Учиться совместно с учителем обнаруживать и формулировать учебную проблему
2 Учиться планировать учебную деятельность на уроке.
3 Высказывать свою версию, пытаться предлагать способ её проверки (на основе продуктивных заданий в
учебнике).
4 Работая по предложенному плану, использовать необходимые средства
5 Определять успешность выполнения своего задания в диалоге с учителем.
6 Определять цель работы на уроке с помощью учителя и самостоятельно.
7 Договариваться с одноклассниками совместно с учителем о правилах поведения и общения, оценки и
самооценки и следовать им.
Познавательные:
1 Ориентироваться в своей системе знаний: понимать, что нужна дополнительная информация (знания) для
решения учебной задачи в один шаг.
2.Делать предварительный отбор источников информации для решения учебной задачи.
3 Добывать новые знания: находить необходимую информацию
4 Добывать новые знания: извлекать информацию, представленную в разных формах (текст, таблица, схема,
иллюстрация и др.).
5 Перерабатывать полученную информацию: наблюдать и делать самостоятельные выводы.
Коммуникативные:
1Донести свою позицию до других: оформлять свою мысль в устной и письменной речи (на уровне одного
предложения или небольшого текста).
2. Слушать и понимать речь других.
3 Выразительно читать и пересказывать текст задачи.
4.Вступать в беседу на уроке и в жизни.
Чтение: работа с информацией
1.Воспринимать на слух и понимать различные виды сообщений
2.Находить информацию, заданную в тексте в явном виде.
Оборудование: схема-опора для чтения многозначных чисел, карточка-памятка о разрядном составе
многозначных чисел, алгоритм представления числа в виде суммы разрядных слагаемых, опорная схема для
сравнения чисел, карточки для самостоятельной работы, фотографии села, магнитофон, аудиозапись.
Задача
Этап
Учебная ситуация
Деятельность учителя
Организоват
ь
обучающихся
на
совместную
деятельность
Организ
ационно
-
мотивац
ионный
Ребята, урок математики
мне хотелось бы начать с
высказывания Роджера
Бэкона о математике.
Прочитайте справа
налево.
Формируемые УУД
Рефлексия
Подготовка учащихся к
работе на уроке:
выработка на личностно
значимом уровне внутренней
готовности выполнения
нормативных требований
Деятельност
ь
обучающихся
Тот, кто не
знает
математики,
не может
узнать
другие
науки и не
может
познать
мир.
Как вы понимаете смысл
этого высказывания?
Актуализирова
ть знания по
теме:
«Чтение и
запись
многозначн
ых чисел»
Актуализ
ация
знаний по
теме:
«Чтение
и
запись
многозн
ачных
чисел»
Продолжаем познавать
мир. Отправимся в
путешествие, возьмем с
собой все свои знания и
умения. Откройте тетради
и запишите число.
Работаем в парах
сменного состава
Постарайтесь сформулировать
задание
627+284=901 (911)
408+592=1000
903-864=39
821-703=104 (118)
Проверьте ответы и
исправьте ошибки, если
они есть по эталону и по
критериям, выработанным
нами ранее.
Познавательные УУД:
1)формируем умение находить
и использовать
нужную
информацию
Коммуникативные УУД:
1) формируем умение слушать и
понимать других
2) формируем умение строить
речевое высказывание в
соответствии с поставленными
задачами;
3) формируем умение
оформлять свои мысли в устной
форме;
5) формируем умение работать
в группе
Личностные УУД:
1)Уметь выполнять самооценку
на основе критерия успешности
учебной деятельности
2) формируем мотивации к
обучению и целенаправленной
познавательной деятельности;
Регулятивные УУД:
1) формируем умение
определять цель деятельности
на уроке;
2) формируем умение оценивать
учебные действия в
Найти
значение
выражения и
исправить
ошибки,
если они
есть по
эталону и
по
критериям,
выработанн
ым нами
ранее.
627+284=9
01 (911)
408+592=1
000
903-864=39
821-
703=104
(118)
Критерии:
1. Правильно
применил порядок
действий при
нахождении
значения
выражения
2. Правильно нашел
значение
выражения
соответствии с поставленной
задачей;
3) формируем умение
осуществлять познавательную и
личностную рефлексию
Итак, записываем выражение в
тетрадь.
Решаем его.
Поменяйтесь тетрадями.
«–».
Поменяйтесь тетрадями
обратно.
тетради, карточку и ручку и
пересели на одно место назад.
Поменялись карточками.
Записали выражение.
Решили.
Поменяйтесь тетрадями.
Проверьте, поставьте «+» или
«–».
Поменяйтесь тетрадями
обратно.
2 вариант взяли в руки свои
тетради, карточку и ручку и
пересели на одно место назад.
Поменялись карточками.
Записали выражение.
Решили.
Поменяйтесь тетрадями.
Проверьте, поставьте «+» или
«–».
Поменяйтесь тетрадями
обратно.
Ребята, что вам нужно было
знать, чтобы успешно справиться
с этим заданием?
Знать порядок
решения
выражений с
многозначными
числами
с эталоном.
уровне?
На среднем?
На низком?
по алгоритму самооценки.
Критерии:
1. Правильно
применил порядок
действий при
нахождении
значения
выражения
2. Правильно нашел
значение
выражения
Алгоритм
самооценки:
Какова была
цель задания
(задачи)?
Удалось
получить результат
(решение, ответ)?
Правильно или с
ошибкой?
Самостоятельно
или чьей – то
помощью?
Вывести детей
на проблему
Создание
условий для
формулировки
цели урока и
постановки
учебных задач
Постанов
ка
проблемы
урока.
Определ
ение
темы
С какими числами
выполняли действия?
(Двузначны
ми,
трехзначны
ми.)
С какими познакомились
на прошлых уроках?
(Многозначн
ыми.)
Чему научились на
прошлом уроке?
На доске написано:
многозначные числа:
разрядный состав
запись
чтение
сравнение
Читать
многозначн
ые числа,
записывать
многозначн
ые числа
после
предварите
льного
определени
я числа
цифр в
каждом
классе;
поразрядно
сравнивать,
представлят
ь
многозначн
ые числа в
виде суммы
Познавательные УУД:
1)формируем умение находить
и использовать
нужную
информацию
2)
умение
представлять информацию в
виде таблицы
формируем
3) самостоятельное создание
способов решения проблем
творческого характера.
Метапредметные УУД
регулятивные:
отличать различные виды
объектов выполняемого
задания;
осуществлять самоконтроль;
предметные: определять и
формулировать цель
деятельности на уроке;
правильно владеть
художественными терминами;
сравнивать образцы;
находить общее и разное;
коммуникативные:
слушать и понимать речь
других;
умение грамотно (точно,
понятно и развёрнуто)выражать
свои мысли с помощью
разговорной речи,во время
ответов.
разрядных
слагаемых.
Тема урока:
«Чтение и
запись
многозначн
ых чисел»
Задачи
урока:
тренировка
способности
чтения и
записи
многозначны
х чисел,
сравнение
многозначны
х чисел;
представлен
ие
многозначног
о числа в
виде суммы
разрядных
слагаемых
Давайте попробуем
сформулировать тему и
задачи урока.
Урок у нас будет
необычный. Мы не только
будем показывать свои
знания, но и откроем
новые горизонты,
совершив заочную
экскурсию по нашему
Самоопр
еделени
е к
деятель
ности
Установление
правильности
и осознанности
усвоения
учебного
материала,выяв
ление пробелов
и неверных
представлений
, их коррекция.
родному селу.
Что может быть милее
Старого Тартасса!
Что есть роднее нашего
села?
Стоит меж речек он на
карте точкой маленькой
И наши судьбы в сердце
он вобрал!
1. Чтение многозначных
чисел
Старый Тартас возник,
запишите и прочитайте
это число, которое
содержит 1 единицу
класса тысяч, 816 единиц
класса единиц.
любое
– Как прочитать
Что
многозначное
сделаем сначала? (Сначала число
разбиваем на классы, по 3 цифры
справа налево.)
– Что делаем потом? (Читаем
число единиц каждого класса,
называя его (кроме класса
единиц.)
число?
На доске схемаопора
1.Разбиваем на классы:
регулятивные:
сравнивать предлагаемые
образы, находить в них общее и
различное
под руководством учителя
на уроке.
Личностные УУД
Устанавливать связь между
целью и мотивом(зачем?)
учебной деятельности,
обсуждать здание;
создание творческого и
реалистичного объекта.
Задания;
уметь выражать в своей работе
отношение к создаваемому
объекту.
* * * ’ * * * ’ * * * ’
2.Читаем, называя классы:
миллиарды миллионы
тысячи (единицы)*.
3. В каждом классе три разряда:
сотни, десятки, единицы.
4. Нуль в записи числа
обозначает
отсутствие
единиц данного разряда.
А на каком виде
транспорта мы
отправимся на экскурсию,
вы узнаете, когда
прочитаете числа,
написанные на билетах.
Автобус-3672650
Метро-9743
Автомобиль-43971
Троллейбус-600542
-Назовите самое большое
многозначное число.
Мы путешествуем на …
На автобус ты скорей
сейчас садись.
Лишь в дороге не ленись!
Применен
ие знаний
на
практике
Показать
обучающимся
практическую
значимость
умения читать
и записывать
многозначные
числа.
Автобус-
3672650
Метро-9743
Автомобиль-
43971
Троллейбус-
600542
автобусе
регулятивные:
определять и формулировать
деятельность на уроке;
под руководством учителя,
планировать свою деятельность
на уроке и определять
последовательность своих
действий;
проводить анализ творческой
деятельности;
определять критерии
сравнения изучаемого и
усвоенного в правильном
восприятии материала(знаний)
на уроке и проводить его.
Используя
сигналы, оцените,
пожалуйста, свою
работу на этом
этапе урока.
Мне все понятно.
Все
выполнено, верно!
Я ещё сомневаюсь.
Допускаю ошибки.
Мне большая часть
заданий непонятна.
Мне нужна помощь
Среди чисел
найдете
наименьшее
четырехзна
чное число:
1997
1981
300096
-Это 1981.
2.Представление
многозначного числа в
виде суммы разрядных
слагаемых.
Мы подошли к
автомобильной остановке.
Она была построена в …
А вот когда она была
построена, вы узнаете,
если выполните
следующее задание.
Прочитайте
Как с помощью таблицы
определить
количество
слагаемых в представлении числа
в виде суммы разрядных
слагаемых? (По количеству цифр,
используемых в записи числа
(отличных от нуля), определяем
количество слагаемых.)
Зафиксировать на доске
первый шаг алгоритма:
1.Определить количество
Открытие
новых
знаний
Познакомить
обучающихся с
понятием
«Разложением
числа на сумму
разрядных
слагаемых»,
вывести
правило
Обеспечение
усвоение новые
Личностные:
1 В предложенных
педагогом ситуациях
общения и
сотрудничества,
опираясь на общие
для всех простые
знаний и
способов
действий на
уровне
применения в
изменённой
ситуации
разрядных слагаемых (по
количеству цифр отличных
от нуля)
2.
Как записать каждое
слагаемое?
Зафиксировать на доске
второй шаг алгоритма:
2.Определить количество
нулей в каждом
разрядном слагаемом
Зафиксировать на доске
третий шаг алгоритма:
3.Записать сумму разрядных
слагаемых
Каждые
последующ
ие цифры в
записи
каждого
слагаемого
обозначим
нулем.
правила
поведения, самостоят
ельно делать выбор,
какой поступок
совершить.
Регулятивные:
1.Учиться планироват
ь учебную
деятельность на
уроке.
2. Высказывать свою
версию, пытаться
предлагать способ её
проверки (на основе
продуктивных
заданий в учебнике).
3. Договариваться с
одноклассниками
совместно с учителем
о правилах поведения
и общения, оценки и
Алгоритм:
1.Определить
количество
разрядных
нуля)
слагаемых (по
количеству цифр
отличных от
2.Определить
количество
нулей в каждом
разрядном
слагаемом
Запишем данные числа в
виде суммы разрядных
слагаемых. Карточка-
памятка о разрядном
составе многозначных
чисел напомнит вам как
определить.
–
Прибавьте 30 единиц к
числу 1981:
1981
30
2011
Какое число получили?
Ребята, в этом году был
построен новый мост
через реку Омь.
Прочитайте следующее
задание
самооценки и
следовать им.
Познавательные:
1 Ориентироваться в
своей системе
знаний: понимать, что
нужна
дополнительная
информация (знания)
для решения учебной
задачи в один шаг.
2.Делать предварител
ьный отбор источнико
в информации для
решения учебной
задачи.
3. Добывать новые
знания: извлекать инф
ормацию,
представленную в
разных формах (текст,
1981=1000
+900+80=1
2011
Используя
эти цифры,
запишите
все
четырехзна
чные числа,
которые не
должны
3.Записать
сумму разрядных
слагаемых
Карточка-
памятка о
разрядном
составе
многозначных
чисел 1.Нуль в
записи числа
обозначает
отсутствие
единиц данного
разряда
2.В каждом
классе три
разряда: сотни,
десятки,
единицы
Используя
сигналы, оцените,
пожалуйста, свою
работу на этом
этапе урока.
Мне все понятно.
Все
выполнено, верно!
Я ещё сомневаюсь.
Допускаю ошибки.
Мне большая часть
заданий непонятна.
Мне нужна помощь
повторяться
.
2110,
2101,1012,
1021и т.д.
таблица, схема,
иллюстрация и др.).
4. Перерабатывать
полученную
информацию: наблюд
ать и делать самостоя
тельные выводы.
Коммуникативны
е:
1Донести свою
позицию до
других: оформлять сво
ю мысль в устной и
письменной речи (на
уровне одного
предложения или
небольшого текста).
2.Слушать и понимать
речь других.
3.Вступать в беседу на
уроке.
Чтение: работа с
информацией
1.Воспринимать на слух и
понимать различные
виды сообщений
Физкул
ьтмину
тка.
Выполн
ение
танцева
льных
движен
ий под
музыку
«Мы
едем,
едем,
едем»
Вы много трудились,
пришла пора
отдохнуть.
Звучит запись Ю.
Антонова «Море».
Закройте глазки и
представьте себе, что
мы посреди глубокой
реки. Веет теплый
ветерок, волны тихо
покачивают нашу
лодку. Вдруг вы
заметили белую чайку.
Вот она полетела
вдаль, к синему небу.
И вы видите, как
широко-широко
простирается река, как
сливается она с
синевой неба…
Откройте глазки.
Показать
обучающимся
практическую
значимость
умения читать
Применен
ие знаний
на
практике
3. Запись многозначных
чисел.
Следующая остановка – у
здания школы.
Запишите
числа,
расположив
в
убывающем
регулятивные:
определять
последовательность своих
действий на уроке;
и записывать
многозначные
числа.
Прочитайте предложения:
(на доске)
В 1898 году –
возникла
приходская школа.
Учитель был
священник.
В 1934 году –
создана школа
крестьянской
молодежи.
С 1939 года –
восьмилетняя
школа.
В 1965 году-
построено новое
здание школы.
Прочитайте, что будем
делать с этими числами.
Ученики школы
благоустраивают
территорию, сажают
деревья, цветы. Давайте
об этом решим задачу по
учебнику.
Прочитайте.
- О ком говорится в
задаче? -
Что известно?
порядке.
(1965, 1939,
1934, 1898)
анализировать правильность
выполнения задания;
осуществлять самоконтроль;
познавательные:
проводить анализ своей
творческой деятельности;
проводить сравнение объясняя
его критерии;
умение пользоваться
разнообразными графическими
материалами;
коммуникативные:
слушать и понимать речь
других;
умение развёрнуто и
точно(понятно и доступно)
выражать свои мысли во время
ответов.
(В задаче
говорится о
четвероклас
сниках.)
В первый
день
посадили
деревья на
участке
227м, во
второй- на
участке
318м, в
третий
длина аллеи
на 97 м
больше, чем
во второй
день. Длина
аллеи 1 км.
Выполнят
ли
поручение
за три дня?
Нет.
1.) + 97
318
415(м) –
в III день
2.) +227
318
415
- Что спрашивается?
- Сможем сразу ответить
на главный вопрос
задачи?
I. – 227м
II. – 318м
Ш -? на 97м б.
Самостоятельно записать
решение задачи.
Фронтальная проверка.
-Что узнаем сначала?
1км
Потом?
Мы справились с
задачей и пора
отправляться в путь!
Применен
ие знаний
на
практике
Обеспечение
усвоение новые
знаний и
способов
действий на
уровне
применения в
изменённой
ситуации
960(м) –
за 3 дня.
1км =
1000м
960 < 1000
Ответ:
поручение
не
выполнят.
1909
1935
(1; 5; 3; 9;
–
0)
– Четырехзна
чные.
3
35
9
909, 935
– Отсутствие
единиц данного
Личностные:
1 В предложенных
педагогом ситуациях
общения и
сотрудничества,
опираясь на общие
для всех простые
правила
поведения, самостоят
ельно делать выбор,
какой поступок
совершить.
Регулятивные:
1.Учиться планироват
ь учебную
И снова в путь по селу.
Запишите числа. В 1909
году была построена
церковь
Но ее разрушили в
1935году.
– Какие цифры использованы
для записи этих чисел?
– Как называются такие числа?
– Сколько единиц в разряде
десятков у второго числа?
– Сколько всего десятков в
этом числе?
– Сколько единиц в разряде
сотен?
– Сколько всего сотен в этих
числах?
– Что обозначает нуль в записи
числа?
<
<
<
Опорная схема
для сравнения
чисел.
Самостоятельная работа
по карточкам в парах.
-Что общего в записях?
Сравнение многозначных
чисел.
Сравните числа, пользуясь
опорной схемой.
Самопроверка по эталону.
А сейчас сверьте свое решение
с эталоном.
Итак, поднимите руку те, кто
справился с задание на высоком
уровне?
разряда.
Это задания
на
сравнение
многозначн
ых чисел.
583005*583
05
87050*8750
0
340075*347
005
90058*9005
6
749621*748
621
800500*800
505
143317*140
317
180543*180
943
748437*738
437
деятельность на
уроке.
2. Высказывать свою
версию, пытаться
предлагать способ её
проверки (на основе
продуктивных
заданий в учебнике).
3. Договариваться с
одноклассниками
совместно с учителем
о правилах поведения
и общения, оценки и
самооценки и
следовать им.
Познавательные:
1 Ориентироваться в
своей системе
знаний: понимать, что
нужна
дополнительная
На среднем?
На низком?
Итак, (имя ученика) оцени себя
по алгоритму самооценки.
Алгоритм
самооценки:
Какова была
цель задания
(задачи)?
Удалось
получить результат
(решение, ответ)?
Правильно или с
ошибкой?
Самостоятельно
или чьей – то
помощью?
информация (знания)
для решения учебной
задачи в один шаг.
2.Делать предварител
ьный отбор источнико
в информации для
решения учебной
задачи.
3. Добывать новые
знания: извлекать инф
ормацию,
представленную в
разных формах (текст,
таблица, схема,
иллюстрация и др.).
4. Перерабатывать
полученную
информацию: наблюд
ать и делать самостоя
тельные выводы.
Коммуникативны
е:
1Донести свою
позицию до
других: оформлять сво
ю мысль в устной и
письменной речи (на
уровне одного
предложения или
небольшого текста).
2.Слушать и понимать
речь других.
3.Вступать в беседу на
уроке.
Чтение: работа с
информацией
1.Воспринимать на слух и
понимать различные
виды сообщений
2.Находить информацию,
заданную в тексте в
явном виде.
Задать детям
домашнее
задание
Домашн
ее
задание
Пора возвращаться домой.
Впереди у нас с вами еще
много дней, за которые
.
мы успеем узнать о селе
больше и поделимся со
своими родными.
Придумать и
записать 4
многозначных числа,
представить их в
виде
суммы разрядных
слагаемых.
Посмотрите на схему
«Многозначные числа».
Вспомните тему урока.
-Какие задания мы
выполняли на уроке?
-Какие знания помогли
вам с ними справиться?
Хлопните в ладоши те, кто
доволен своей работой.
-Над чем еще надо
поработать?
Прочитайте девиз урока.
Закройте глаза.
Представьте урок от
начала до конца.
- Какие горизонты
открылись для вас
Подвести итог,
выполнить
оценочно –
рефлексивную
деятельность
Подвести итог,
выполнить
оценочно –
рефлексивную
деятельность
Итог
урока.
Оценочно
–
рефлекси
вная
деятельно
сть
Рефлек
сия
учебной
деятель
ности
на
уроке
Личностные УУД
установление связи между
целью деятельности и её
результатом;
давать оценку своей
деятельности на уроке;
уметь критически оценивать
свою работу на уроке;
Метапредметные УУД
регулятивные:
осуществлять самоконтроль;
давать оценку деятельности на
уроке(совместно с учителем и
одноклассниками);
коммуникативные:
уметь точно, развёрнуто и
грамотно выражать свои мысли.
сегодня?
Мы с вами не стояли на
месте, и узнали много
нового о селе, в котором
живем и поняли:
У нас в стране чудесные
селения,
У нас в стране красавцы –
города
Но Старый Тартас – наша
Вселенная:
С нами в сердце всюду и
всегда!
И сделать наш край еще
прекраснее предстоит
Вам!
Речь пойдёт о хорошо известной задаче: как подсчитать число счастливых билетов? Причём сделать это нужно по возможности не очень длинно, избегая слишком сложных вычислений. Тот способ, который я предлагаю, приводится под "катом".
Я не ставлю своей целью написать текст как можно короче. Наоборот: я исхожу из того, что лучше произнести какие-то дополнительные слова, лишь бы в итоге было понятно не только то, какой в задаче ответ, но и то, откуда он взялся. Тексты такого рода рекомендуется читать в "пошаговом" режиме, то есть просто улавливать и усваивать то, что написано. При этом желательно свой собственный "творческий" аппарат на время чтения отключить.
Итак всего, рассмотрим какой-нибудь счастливый билет abcdef. По определению, сумма первых трёх цифр равна сумме трёх последних, то есть a+b+c=d+e+f. Обозначим эту сумму через k и будем называть для краткости рангом счастливого билета. Например, 191731 -- это счастливый билет ранга 11.
Ясно, что ранг счастливого билета может принимать значения от 0 до 27 включительно. Поэтому общее число S счастливых билетов, которое мы хотим найти, будет представлять собой сумму S(0)+S(1)+S(2)+...+S(27), где через S(k) мы обозначили число счастливых билетов ранга k.
Таким образом, задача будет решена, если мы найдём 28 слагаемых нашей суммы. Это довольно много. Но заметим, что нам достаточно найти лишь половину этих значений, потому что остальные будут повторяться. А именно: если взять какой-то счастливый билет ранга k и заменить в нём каждую цифру на дополнительную до 9, то получится счастливый билет ранга 27-k. Например, билет 191731 ранга 11 превратится в билет 808268 ранга 16.
Отсюда следует, что S(k)=S(27-k), то есть набор слагаемых нашей суммы одинаково читается слева направо и справа налево. В середине будут стоять равные друг другу слагаемые S(13) и S(14). Поэтому мы приходим к такой формуле:
S = 2*(S(0)+S(1)+S(2)+...+S(13)),
то есть найти нужно всего 14 чисел. Это пока что всё равно много, но далее окажется, что способ нахождения первых 10 слагаемых очень простой, и все они находятся однотипно. А последние 4 мы найдём, зная предыдущие, применяя некоторую поправку.
Итак, пусть k есть ранг билета; как найти число S(k)? Выбирая один из таких билетов, мы сначала выбираем тройку цифр с суммой k. Сколькими способами это можно сделать? Пока мы этого не знаем, поэтому обозначим это число через T(k). Например, T(0)=1 -- для единственной тройки 000 с суммой 0, а T(1)=3 -- здесь имеются в точности три тройки: 001, 010, 100 с суммой 1.
Утверждается, что S(k)=T(k)*T(k)=T(k)^2. В самом деле, выписывая номер счастливого билета ранга k, мы можем сделать это в два этапа: выписать сначала первую тройку, а потом вторую. При поэтапном выборе число способов перемножается, что и приводит к выписанному выше равенству.
Итак, мы приходим к формуле
S = 2*(T(0)^2+T(1)^1+T(2)^2+...+T(13)^2),
то есть ответом в задаче будет удвоенная сумма квадратов 14 чисел, которые мы сейчас найдём.
Итак, что такое T(k)? Это число решений уравнения a+b+c=k в целых неотрицательных числах, но ещё с дополнительным ограничением, что a,b,c -- это цифры, то есть никакая из них не может превышать 9. Забудем сначала про имеющееся ограничение и подсчитаем просто число решений этого уравнения. Дело в том, что при k=0,1,...,9 у нас автоматически будет выполнено наше ограничение, и в итоге мы найдём 10 из 14 интересующих нас чисел.
Итак, сколько же решений имеет уравнение a+b+c=k? Прежде всего, введём для этого количества обозначение U(k). Понятно, что третья переменная c может принимать значения от 0 до k. Зафиксируем одно из таких значений; тогда a+b=k-c. Сколько решений имеет такое уравнение, уже от двух переменных?
Здесь ответ очевиден. Представим себе в правой части какое-то конкретное число, например, 8. Все решения уравнения a+b=8 могут быть явно выписаны: это (0,8), (1,7), (2,6), ..., (8,0). Посмотрим на первые числа в парах и увидим, что решений ровно 9, то есть на единицу больше того, что стояло в правой части уравнения. Этот принцип просто запомнить. Скажем, уравнение a+b=4 будет иметт 5 решений.
Вернёмся к уравнению a+b+c=k. Уже говорилось, что c принимает значения от 0 до k. Для удобства начнём с максимального из значений, равного k. При этом возникает уравнение a+b=0, имеющее одно решение. При c=k-1 получается a+b=1, и здесь решений уже два. Далее при c=k-1 имеем a+b=2 с тремя решениями, и так вплоть до последнего случая c=0, где приходим к уравнению a+b=k, имеющему k+1 решение. Окончательно мы получаем следующее:
число решений уравнения a+b+c=k в целых неотрицательных числах в точности равно U(k)=1+2+3+...+k+(k+1), то есть сумме первых k+1 чисел натурального ряда.
В данном случае можно воспользоваться известной формулой и "свернуть" формулу до U(k)=(k+1)*(k+2)/2, но здесь это не обязательно. Дело в том, что нам нужен список всех чисел вида T(k) при k=0,1,2,...,13. И, как говорилось выше, первые 10 чисел этого списка могут быть найдены по вышеприведённой формуле. Напомним, что при k=0,1,...,9 решениями уравнения автоматически будут тройки цифр, то есть то, что мы хотим подсчитать. А вот при k=10 и далее, уравнения будут иметь решения типа (10,0,0), которые нам не подходят.
Итак, вот список из 14 чисел вида U(k), где k=0,1,2,...,13:
1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55 , 66, 78, 91, 105
который строится по такому принципу: начиная с 1, мы далее прибавляем последовательно 2, 3, ..., 13. Здесь первые 10 чисел выделены жирным шрифтом; их мы уже нашли верно. А для последних четырёх чисел мы сейчас сделаем поправку, удалив "лишнее".
Итак, рассмотрим число k от 10 до 13. Нас интересует число T(k), то есть число решений уравнения a+b+c=k в десятичных цифрах. Мы же нашли число решений, среди которых есть лишние. Это в точности те решения, где одна из цифр принимает значение 10 и более. Заметим, что такая цифра может быть в точности одна -- ведь в противном случае суммы всех цифр была бы как минимум 20, а у нас это не так. Сколько мы насчитали лишних решений, если значение a вышло за пределы, то есть стало равно 10+α? Подстановка в уравнение даёт α+b+c=k-10, то есть нами было учтено U(k-10) лишних решений, где a выходило за отведённые пределы. Но ровно столько же их было, когда за пределы вышло b, и столько же для c. Поэтому общее число лишних решений равно 3U(k-10), а итоговая формула для рассматриваемых значений k получается такая: T(k)=U(k)-3U(k-10) при k от 10 до 13.
Таким образом, берём 4 последних числа нашего списка: 66, 78, 91, 105 и вычитаем из них утроенные первые 4 числа списка, то есть утраиваем 1, 3, 6, 10, получая 3, 9, 18, 30 и производим вычитание, что приводит к числам 63, 69, 73, 75. Окончательно получаем список чисел T(k) при от 0 до 13:
1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 63, 69, 73, 75.
Каждое из этих чисел надо возвести в квадрат, потом всё сложить, а полученную сумму удвоить. Это и будет ответ. Здесь, к сожалению, приходится прибегать к подсчёту, но он не сложный. В итоге имеем:
S=2*(1+9+36+100+225+441+784+1296+2025+30 25+3969+4761+5329+5625)=2*27626=55252.
Итак, общее количество счастливых билетов в точности равно 55252. Забавно, что цифры тут получились только 5 и 2. Вероятно, это связано с тем, что данную задачу можно решить или на "пятёрку", или на "двойку"! :)
Если разделить миллион (общее количество номеров билетов) на найденное количество, то получится приблизительно 18. То есть в среднем примерно каждый 18-й билет является счастливым.
Задача вычисления количества счастливых билетов известна давно. Ее задавали практически любому школьнику, обучающемуся программированию. В интернете можно найти множество ее решений на разных языках программирования. Все эти варианты сводятся к перебору всех существующих билетов и проверке их на «счастливость». Получается миллион вариантов.
Но данную задачу можно решить и другим способом, перебрав всего тысячу вариантов.
Напомню, что счастливыми являются билеты, сумма первых трёх цифр номера которых равна сумме последних трёх цифр номера. Например, билет с номером «546780» является счастливым, так как сумма первых трёх цифр (5+4+6) равна сумме последних трёх цифр (7+8+0). Задача состоит в определении того, сколько всего существует счастливых билетов.
Во всех примерах она решается в лоб, но что если пойти иным путем? Вначале ответим на другой вопрос. Сколько существует различных комбинаций трех цифр (троек), которые в сумме дают n ? Для ответа на этот вопрос нужно перебрать все возможные тройки (тысяча вариантов).
Сумма любых троек находится между нулем (0+0+0) и 27 (9+9+9). Поэтому можно подготовить массив сумм:
{n _0 , n _1 , n _2 , n _3 , …., n _25 , n _26 , n _27 }
где n _ i – количество троек, дающих в сумме i . При этом сумма цифр равна индексу этого элемента в массиве.
Хорошо, мы подготовим такой массив, но как это связано с билетами? Рассмотрим частный случай. Всего существует n _25 троек, дающих в сумме 25. Для каждой такой тройки существует n _25 троек, при объединении с каждой из которых будет получаться счастливый номер. Поэтому существует n _25 *n _25 счастливых билетов, сумма первых трёх цифр которых равна 25. Аналогично и для других сумм. Таким образом, общее количество счастливых билетов равно:
n _0 *n _0 + n _1 *n _1 + …. + n _26 *n _26 + n _27 *n _27
Ниже приводится полный исходный код приложения, реализующего данный алгоритм.
#include
Код хорошо прокомментирован, поэтому вопросы возникнуть не должны.
Если посмотреть на массив сумм, то можно сделать два наблюдения.
1. Он симметричен:
n_13 = n_14 ,
n_12 = n_15 ,
n_11 = n_16 ,
n_10 = n_17 ,
………………
n _1 = n _26 ,
n _0 = n _27 .
2. Больше всего существует билетов, сумма первых трёх цифр которых равна 13 и 14 (их по 75).
Массив сумм из 28 элементов подготавливается за один проход перебора троек. Поэтому для подсчета количества счастливых билетов достаточно перебрать 1000 вариантов.
Счастли́вый биле́т - поверье и математическое развлечение, основанное на нумерологической игре с номером проездного билета. Что делать со счастливым билетом: народные приметы и суеверия Покупая билет в общественном транспорте, человек надеется получить именно счастливый! Что же это за билет такой, и что с ним делать?
Как определить счастливый билет?
Счастливым билетом считается тот билет, в шестизначном номере которого сумма первых трех чисел равна сумме трех последних чисел. Этот метод определения счастливого билета самый распространенный. Его еще называют московским. Есть питерский способ определения счастливого билетика. Согласно старых ленинградским приметам и суевериям, удачу принесет тот билет, сумма четных чисел которого будет равна сумме нечетных чисел в его порядковом номере. Такие счастливые билетики попадаются очень часто. Однако есть и особенные, редкие билеты, которые, согласно приметам, приносят еще большую удачу. К примеру, счастливым билетом является билет, у которого шестизначный номер состоит из одинаковых цифр. Также удачу приносит и тот билет, у которого первые три цифры и последние три - одни и те же. Например: 321132. Кроме счастливых билетов есть еще и встречные билетики. Ими являются те билеты, сумма первых трех чисел которых на одну единицу больше или меньше суммы трех последних чисел. Если вам попался такой билет, то в этот день вы встретите человека, которого давно не видели.
- Что делать со счастливым билетом?
Старинная примета гласит, что если вдруг попался счастливый билет, его необходимо тут же съесть, и тогда придет удача. Однако, как показывает практика, кроме несварения желудка этот ритуал ничего за собой не несет. Однако в этом ритуале есть доля разумного. Вероятно, билетик рекомендовалось съесть за тем, чтобы никто не смог увидеть расположение цифр на нем. Скорее всего, числа на счастливом билете или их сумма помогают выиграть в лотерею или решить какую-либо проблему. Если вы нашли счастливый билет, то сохраните его. Согласно народной примете, он непременно принесет удачу. Но при этом не забудьте запомнить либо его цифры, либо их сумму - это может натолкнуть вас на правильное решение в затруднительной ситуации.
- Загадываем желание на счастливый билет
Получив счастливый билет, вы можете рассчитать его нумерологический код и загадать желание в соответствии с его значением. Таким образом вы усиливаете действие цифровых вибраций. Код билета представляет собой сумму всех цифр его номера, доведенных до простого числа. Например: 142511=1+4+2+5+1+1=14=1+4=5.
- Каково значение основных чисел и что лучше загадывать на каждое из них?
Счастливый билет: сумма равна 1
Единица - сильное, активное число, покровительствующее рискованным начинаниям, радикальным решениям, поворотам судьбы. Хотите резко изменить ситуацию- переехать, сменить работу, встретить любимого, разбогатеть - загадывайте желание.
Единица так же благоприятна для того, чтобы загадать успех в частном бизнесе: даже если вы считаете себя недостаточно предприимчивым, забудьте об этом - счастливый билет поможет в реализации самого фантастического проекта.
Счастливый билет: сумма равна 2
Число, связанное с взаимодействием и коммуникациями, признанием и популярностью, поэтому загадывайте воплощение каких-то карьерных или творческих амбиций.
Если в семье или отношениях случился разлад то на это число хорошо загадывать примирение и озвучивать мечты о взаимопонимании и мире в семье.
Счастливый билет: сумма равна 3
Тройка отвечает за общение - производственное, дружеское, родственное, романтическое. Тому, кто нуждается во взаимопонимании с каким-то конкретным человеком - будь то любимый или босс, - счастливый билет с таким кодом поможет завоевать расположение и симпатию.
Если вы испытываете проблемы в общении, то стеснительность, закомплексованность должны отступить перед вашим желанием.
Счастливый билет: сумма равна 4
Число, связанное с управлением и подчинением, с воздействием, которые вы оказываете на других людей.
Если вы не очень строгий родитель, четверка поможет вам оказать нужное влияние на ребенка-подростка, если вы начальник - заставит подчиненных ревностно исполнять ваши распоряжения; если вы влюблены - поможет настоять на своем. Но постарайтесь не переборщить с желанием - вы же не хотите, чтобы вас воспринимали как тирана и деспота?счастливый билет
Счастливый билет: сумма равна 5
Число эмоций и чувств, романтики и приключений. Забудьте о проблемах на работе.
Самое время окунуться в океан любви и загадать, чтобы на ваши чувства ответили взаимностью и не тянули с предложением руки и сердца. Даже в привычное течение семейной жизни этот счастливый билет может внести ощущение новизны и искушения.
Счастливый билет: сумма равна 6
Число, связанное с самореализацией. Вы уверены, что выбрали именно ту профессию, которая больше всего соответствует вашим способностям и характеру? Не загадать ли вам перемены в жизни, которые помогут раскрыть вашу личность?
Не стесняйтесь мечтать, только пусть ваши мечты выглядят как стратегия, а не как абстрактная живопись: сформулируйте свое желание как можно яснее - это число любит порядок и четкость.
Счастливый билет: сумма равна 7
Семерка - проводник в таинственные, мистические, трансцендентные миры. Не стоит загадывать что-то бытовое или материальное - это магическое число поможет вам в духовных поисках, раскроет перед вами удивительные тайны, позволит проникнуть в тонкие сферы.
Можно попросить счастливый билет раскрыть ваши эзотерические способности или получить знак свыше, увидеть своего ангела-хранителя или заглянуть в будущее. Но готовы ли вы к исполнению такого желания, может, выбрать что-то попроще?счастливый билет
Счастливый билет: сумма равна 8
Самое время загадать что-то конкретное, весомое, зримое, восьмерка- число богатства и процветания. Если вы недовольны своим материальным положением, загадывайте нежданное богатство, денежное поступление, повышение зарплаты или наследство.
Загадайте подарок, о котором больше всего мечтаете, или какую-то крупную покупку, можно озвучить желание открыть свое дело, в общем, для этого числового кода нужны земные и вещественные желания.
Счастливый билет: сумма равна 9
Пора извлечь из архива памяти якобы неразрешимые проблемы и с новыми силами попытаться их преодолеть. Девятка поможет распутать даже самые запутанные узлы личных отношений, решить самые сложные производственные или научные задачи.
В случае, если в номере есть нули или повторы, сила его основного числа ослабляется. А вот счастливый билет, в котором все цифры разные, усиливает притяжение удачи.
Не могу сказать, что я счастливчик по жизни, но мне они попадаются довольно часто.
Это пара моих редких билетика:
Этот попался сегодня.
Пускай этот пост принесёт Вам немного везения! Спасибо за внимание! Не забывайте оплачивать проезд и чаще получайте счастливые билеты!
А, м. billet m.,> нем. Billett.1. Бумага с официальным распоряжением, приказом. Сл. 18. Кардинал и штатскии секретарь Леркари велел на сих днях господину Риццу.. билет вручить, в котором он ему объявляет, чтобы он без замедления дороги… … Исторический словарь галлицизмов русского языка
На самолёт Туркменских Авиалиний Билет (фр. billet, от средневекового billetus записка, письмо, свидетельство; удостоверение … Википедия
Сущ., м., употр. часто Морфология: (нет) чего? билета, чему? билету, (вижу) что? билет, чем? билетом, о чём? о билете; мн. что? билеты; (нет) чего? билетов, чему? билетам, (вижу) что? билеты, чем? билетами, о чём? о билетах 1. Билет это документ… … Толковый словарь Дмитриева
Прил., употр. очень часто Морфология: счастлив и счастлив, счастлива и счастлива, счастливо и счастливо, счастливы и счастливы; счастливее; нар. счастливо, счастливо 1. Счастливым называют того, кто испытывает большую радость, счастье, потому что … Толковый словарь Дмитриева
Билет The Ticket Жанр драма Режиссёр … Википедия
It Could Happen To You Жанр комедия Режиссёр Эндрю Бергман В главных ролях Николас Кэйдж Бриджит Фонда … Википедия
БИЛЕТ, а, муж. 1. Документ, удостоверяющий право пользования чем н. разовый или на определённый срок. Железнодорожный б. Сезонный, месячный б. (для проезда на сезон, на месяц). Единый проездной б. (для проезда на разных видах городского… … Толковый словарь Ожегова
СЧАСТЛИВЫЙ, ая, ое; счастлив и счастлив. 1. Полный счастья, такой, к рому благоприятствует удача, успех; выражающий счастье. Счастливая жизнь. Счастливое детство. Если хочешь быть счастливым, будь им (шутл.). Счастлив, как дитя. Счастливое лицо.… … Толковый словарь Ожегова
счастливый - I см. счастливый; ого; м. II ая, ое; сча/стлив, а, о. см. тж. счастливый, счастливая, счастливые, счастливо, счастливо 1) чем, с инф., с придат. дополнит. Такой, который испы … Словарь многих выражений
А; м. [франц. billet] 1. Документ, удостоверяющий право пользования чем л., посещения чего л., участия в чём л. Трамвайный, троллейбусный, железнодорожный б. Месячный, проездной б. (такой документ многоразового пользования для проезда в… … Энциклопедический словарь
Книги
- Счастливый билет (комплект из 2 книг) , Елена Давыдова-Харвуд, Олга Бакушинская, Эдуард Шатов. Вашему вниманию предлагается комплект из двух книг серии СЧАСТЛИВЫЙ БИЛЕТ…
- Счастливый билет. На день рождения , Леон Малин. Сюжет рассказа прост. Приятель подарил главному герою на день рождения лотерейный билет. Тут же выяснилось, что билет выиграл 30 миллионов рублей. События начинаютразвиваться стремительно.…
